matemáticas 4 funciones cobach

“Colegio De Bachilleres De Chiapas”

“Plantel 06, Reforma”

   ASIGNATURA: MATEMATICAS 4

   DOCENTE: MIGUEL ANGEL MOSCOSO LOPEZ

   GRADO: “4”                                               GRUPO: “F”

   INTEGRANTES:

- ALDO ALBERTO MARTÍNEZ FIGUEROA

- LUIS DANIEL TOHALA CALLES

- MANUEL ALBERTO SASSO TOSCA

- ROBERTO FERNANDO RUIZ LOPEZ

- JUAN RAFAEL FIGUEROA DZUL

  CICLO ESCOLAR: 2017-A

  TURNO: MATUTINO

REFORMA CHIAPAS

INTRODUCCIÓN

Matemáticas 4 plantel 06
www.funcionesygraficasplantel06.com

A continuación se pretende que los alumnos aprendan de forma activa qué es una función y cómo se construye, así como a manejar las funciones, interpretarlas y extraer datos de ellas. En definitiva, se pretende que los alumnos entiendan las funciones como una forma de relacionar dos magnitudes de manera gráfica.

De igual manera pretendemos darle a conocer como las funciones se relacionan en la vida cotidiana.

Función Escalonada

Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él. 
El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina una gráfica escalonada. 

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b] ¾® R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

Características

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

Ejemplo

Podemos ver la función Y=s(x), definida así:

s : [-1,5]⊆ R → R
                         X→ y=s(X)

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y.

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

Aplicaciones en la vida cotidiana

Ejemplo no. 1

Costo de un estacionamiento: Al modelar lo que sucede en un estacionamiento por vehículos cuya tarifa está en función del  tiempo que permanece el vehículo estacionado. En algunos estacionamientos se lee el siguiente letrero: “$400 por cada media hora o  fracción”. Esto significa que el automovilista pagará $400 si su vehículo esta estacionado 10, 15 o 20 minutos, pero pagará $800 si está estacionado 31,45 o 55 minutos.

Ejemplo no. 2

Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre.
Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuación de la función que determina la altura (h) del agua después de transcurrida t horas?
Por cada hora que transcurre la altura crece en 0,2 m, por lo tanto, la altura que aumenta el agua después de t horas es: 0,2t.
Así, la altura h después de t horas, está dada por la relación: h(t) = 1,2 + 0,2t

Valor absoluto

Queda expresada de la siguiente manera su función:

f(x)= [x]=x

En matemáticas, el valor absoluto o módulo¹ de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.

Ejemplos

a) (3) = 3, porque 3 > O

b) (-3 )= - (-3) = 3, porque -3 < O tomamos su inverso

c) Si ( x ) = 3 entonces x = 3 óx= -3 

e) (x-1)=5 por lo tanto x-1=5 ó x-1= -5

x-1 =5 por lo tanto x=6

x-1=-5 por lo tanto x=-4

Características

La imagen de una función valor absoluto es positiva. Para representarla hay que descomponerla.

§  Ponemos delante de una función un signo + y uno negativo, obtenemos una función definida a trozos.

§  La función cambia en aquellos valores donde se anula la X de la función valor absoluto.

§  Para poner las zonas de cada una tenemos en cuenta la función siempre es positiva.

§  Damos valores a cada uno de los trozos para representarla.

Aplicaciones en la vida cotidiana

Lo que usamos como Valor Absoluto en la matemática, es la cantidad que representa un número y debido a que una cantida sólo puede ser positiva, por esa razón todo número sea positivo o negativo se queda en positivo. Por ejemplo cuando decimos que alguien debe $8 se considera como -8 pero la cantidad que se debe es 8 no -8, esa es una de las aplicaciones del Valor Absoluto.

IDENTIDAD

Función Identidad

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

Notación

La función identidad de números reales puede describirse de la forma siguiente:

id: R→R

X→Y=id(x)=Y=X

o también:

idR=R→R

idR(X)=Y

{\displaystyle \operatorname {id} _{R}(x)=y\,}La función identidad es trivialmente idempotente, es decir:

idR (idR(X)) =idR(x) = x

ejemplo no. 1

La función f(x)=x de R en R tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en Rp2 (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación r=∅: una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La función identidad en {0,1}es la doble negación, expresada por     f-1(X)

Ejemplo no. 2

Así podemos saber, las sumas por diferencia de los binomios, es la diferencial al cuadrado de los términos b y a, sin necesidad de ir multiplicando uno por uno. Resolvamos lo de arriba sin saber que es una identidad.

De esa forma, aunque es correcta, perderemos valioso tiempo que ahorraríamos de conocer esa identidad. Estas incluso son más útiles, pues nos quitan e hacer en borrosos cálculos.

Antes no debemos olvidarnos de las identidades trigonométricas (Las que usan ceno y coseno) que es más de lo mismo pero referido a ángulos.

Para que una identidad se cumpla, a de cumplirse la igualdad planteada para cualquier valor.

En este caso siempre se cumplen, ya que sean cuales sean los valores de a y b, la diferencia de sus cuadrados siempre va a ser a la suma por diferencia.

Esta es una ecuación de segundo grado, para ella encontramos dos soluciones: x=1 y x=2

Si probamos con algún otro valor, por ejemplo 5 

Con x=1 sin embargo.

Función constante

Queda definida de la siguiente manera :

Y =f(x) = x

Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

También se puede definir una función constante a partir de la derivada. Una función f será constante si para todo punto x del dominio la derivada es nula, es decir f ’(x) = 0.

La derivada de la función constante es 0 porque no depende del valor de la variable independiente x.

Propiedades

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma 

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

Ejemplos de la Función constante ⇒ y = n

La fórmula de la función constante es: y = n. La pendiente de la recta m = 0, no es ni creciente ni decreciente. No hace falta hacer tabla de valores la recta vale siempre y = n

Estudiar y representar la siguiente recta ⇒ y = 3

La pendiente de la recta es 0, n = 3

Gráfica